YENPIME_MATEMÁTICA_2.0: MATEMÁTICA 4TO, MOMENTO: II

Continuamos con nuestro estudio de trigonometría, y vamos a revisar el capítulo de Graficas del Seno, Coseno y Tangente. Este capítulo es muy interesante, y con ayuda de un par de estrategias, todos los ejercicios se harán muy sencillos. Empezaremos con un breve repaso de la teoría, y luego resolveremos algunos ejercicios, recuerda que al final viene el reto para practicar todo lo aprendido.

RETROALIMENTACIÓN

Recordemos primero el sistema de coordenadas rectangulares, compuesto por el eje x(abscisas), el eje y (ordenadas), y dividido en 4 cuadrantes.

Valores cíclicos:

RECTA NÚMERICA:

CÍCLICO:

Función del Seno y Coseno en Gráfica:

Conociendo a: El seno y el coseno son dos funciones trigonométricas fundamentales que juegan un papel clave en el cálculo de ángulos y razones en triángulos rectángulos. Además, también tienen un papel importante cuando se utilizan con el círculo unitario, lo que permite su aplicación para todos los ángulos. Comprender estas funciones es esencial para dominar la trigonometría y el análisis matemático.

Definición: El seno y el coseno se definen en un triángulo rectángulo como razones entre los lados del triángulo y su hipotenusa. El seno define la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa, lo que se escribe matemáticamente como: sin(α) = cateto opuesto / hipotenusa El coseno, por otro lado, define la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: cos(α) = cateto adyacente / hipotenusa Esta definición básica de seno y coseno se utiliza en el análisis de triángulos rectángulos y permite cálculos precisos de longitudes de lados y ángulos.

Circulo Unitario: El seno y el coseno tienen una definición adicional importante en el círculo unitario, que extiende su uso a todos los ángulos. El círculo unitario es un círculo con su centro en el origen del sistema de coordenadas y un radio de 1. Para cualquier ángulo α, el seno y el coseno representan las coordenadas de un punto en el círculo. El coseno es la coordenada x de este punto, y el seno es la coordenada y. Por lo tanto, para cualquier ángulo α en el círculo unitario:

ü Cos(α) es la coordenada x del punto en el círculo.

ü Sin(α) es la coordenada y del punto en el círculo. Esta definición permite que el seno y el coseno se utilicen no solo para ángulos entre 0° y 90°, sino para todos los ángulos, incluidos los negativos y los mayores de 360°.

Importancia: El seno y el coseno juegan un papel crucial en la resolución de problemas geométricos y trigonométricos. Además de calcular ángulos en triángulos rectángulos, también permiten la determinación de distancias entre puntos en diversos sistemas de coordenadas. El seno y el coseno son útiles en el análisis de funciones periódicas, como ondas y oscilaciones, donde describen patrones repetitivos. Su uso también es común en la física, donde se utilizan para calcular componentes de fuerza o velocidad en diferentes direcciones. Comprender estas funciones es clave para trabajar con diversos problemas matemáticos y físicos.

Aplicación Práctica: El seno y el coseno tienen amplias aplicaciones en numerosas disciplinas científicas. En geometría, se utilizan para calcular ángulos y lados de triángulos. En física, se emplean para analizar el movimiento y las fuerzas, especialmente al estudiar movimientos circulares y oscilatorios. Además, el seno y el coseno juegan un papel importante en el análisis de ondas en acústica y óptica. El seno y el coseno también son cruciales en los cálculos de ingeniería, como la determinación de ángulos y distancias en construcciones y el análisis de vibraciones y oscilaciones en diversos sistemas mecánicos.

Relación: El seno y el coseno están estrechamente relacionados a través del teorema de Pitágoras. En el círculo unitario, la suma de los cuadrados del seno y el coseno es siempre igual a 1, lo que se escribe como: sin²(α) + cos²(α) = 1 Esta importante relación entre el seno y el coseno permite calcular uno si se conoce el otro, lo cual es útil al resolver ecuaciones trigonométricas.

Función de la Tangente en Grafica:

Recordemos que podemos escribir a la tangente en términos del seno y del coseno: . Esto significa que la tangente será igual a cero cuando el numerador (el seno) es igual a cero. Esto sucede en 0, π, 2π, 3π, etc, y en -π, -2π, -3π, etc.

LA TANGENTE será indefinida cada vez que el denominador (el coseno) es cero. Un cero en el denominador significa que tenemos una asíntota vertical.

Entonces, la gráfica de la tangente tendrá asíntotas verticales cada vez que el coseno es cero: en -π/2, π/2, 3π/2, etc. Luego, podemos usar un valor que se encuentre en cada porción del eje x para determinar la posición de la gráfica. La gráfica es trazada tomando en cuenta que nunca cruza a las asíntotas.

Dominio: La función tangente tiene un patrón que se repite indefinidamente tanto hacia el lado x positivo como hacia el lado x negativo. Sin embargo, la tangente puede ser escrita como y sabemos que no podemos tener al cero en el denominador, por lo que cada vez que tengamos , la función es indefinida.

Rango: La gráfica de la función tangente claramente nos muestra que la función puede resultar en cualquier valor de y. Esto significa que el rango es igual a todos los números reales.

Gráfica: La gráfica de la función tangente básica puede ser modificada para obtener diferentes variaciones. Podemos modificarla cambiando los diferentes parámetros de la forma general de la tangente. La forma general de la función tangente es:

Cada uno de los parámetros de la función tangente afecta a diferentes características de la gráfica resultante.

Estiramiento: El estiramiento vertical representa al cambio en los valores de y de la función con respecto a la función original. Usando la forma general de la tangente, el factor por el que la función es estirada verticalmente es encontrada usando |A|. Si es que A es mayor que 1, la gráfica es estirada y si es que A está entre 0 y 1, la gráfica es comprimida.

Amplitud: va de un pico al siguiente (o de cualquier punto al siguiente punto de coincidencia):

Periodo: es la altura desde la línea central hasta el pico (o hacia el canal). También podemos medir la altura de los puntos más altos a los más bajos y dividir eso entre 2.